Noções de IA

Estatística Bayesiana

Como Funciona a Inferência Bayesiana

O grande diferencial dessa estatística é o processo de atualização contínua:

  1. Você define uma crença inicial (a priori) baseada em estudos passados, opiniões ou dados históricos.
  2. Você coleta novas evidências ou realiza um experimento.
  3. Você aplica o Teorema de Bayes para combinar a crença inicial com os novos dados, gerando uma crença atualizada (a posteriori).
  4. Se novos dados aparecerem amanhã, a sua a posteriori de hoje vira a nova a priori de amanhã

O teorema de Bayes

A base matemática da estatística bayesiana é a fórmula que calcula a probabilidade condicional de um evento A dado que o evento B ocorreu:

\[ P(A|{}B)=\frac{P(B|{}A)\times P(A)}{P(B)} \]

  1. P(A) (Probabilidade a priori): O que você já acreditava ou sabia sobre o evento A antes de ver os novos dados.
  2. P(B|A) (Verossimilhança): A chance de observar os novos dados (B) caso a sua hipótese (A) seja verdadeira.
  3. P(B) (Evidência): A probabilidade total de observar esses dados em todas as hipóteses possíveis.
  4. P(A|B) (Probabilidade a posteriori): A sua crença atualizada sobre o evento A depois de incorporar a nova evidência B.

EXEMPLO: Imagine que uma doença rara afeta 1% da população. Existe um teste para detectá-la, mas ele não é perfeito, ou seja, se a pessoa tem a doença, o teste dá positivo em 90% dos casos (Verdadeiro Positivo) porém, se a pessoa não tem a doença, o teste ainda dá positivo em 10% dos casos (Falso Positivo).

O problema: Uma pessoa fez o teste e deu POSITIVO, qual é a probabilidade real dela estar doente?

Passo 1:Organizar as informações (A priori e Verossimilhança)

Antes do teste, a única informação é a taxa de doença da população. Essa é a Probabilidade a priori

Agora, as chances de dar Positivo (Verossimilhança):

Passo 2:Calcular a evidência (A probabilidade total do teste dar positivo)

Para encontrar a probabilidade de qualquer pessoa ter um resultado positivo, somamos os dois caminhos possíveis para o teste dar positivo: a pessoa estar doente OU a pessoa estar saudável

\[ P(\text{Positivo}) = (0,90 \cdot 0,01) + (0,10 \cdot 0,99) = 0,108 \]

Passo 3:Aplicar o Teorema de Bayes (a posteriori

Agora queremos descobrir a probabilidade A posteriori: a chance de estar doente, dado que o teste foi positivo P(Doente | Positivo)

\[ P(\text{Doente | Positivo}) = \frac{P(\text{Positivo | Doente}) \cdot P(\text{Doente})}{P(\text{Positivo})} \]

Substituindo os valores, tem-se:

\[ P(\text{Positivo}) = P(\text{Positivo | Doente}) \cdot P(\text{Doente}) + P(\text{Positivo | Saudavel}) \cdot P(\text{Saudavel}) \]

\[ P(\text{Doente | Positivo}) = \frac{0,90 \cdot 0,01}{0,108} \approx 0,0833 \]

RESULTADO:A chance real da pessoa estar doente é de 8,33%

E se, a pessoa realizasse outro teste, qual a probabilidade dela estar doente, considerando o primeiro teste ter dado positivo?

Passo 1:Atualizar a informação inicial (A priori e Verossimilhança)

A ideia inicial antes de fazer o segundo teste é o resultado que encontramos no passo anterior

As propriedades do teste continuam as mesmas:

Passo 2:Calcular a nova evidência (A probabilidade total do teste dar positivo)

Para encontrar a probabilidade de qualquer pessoa ter um resultado positivo, somamos os dois caminhos possíveis para o teste dar positivo: a pessoa estar doente OU a pessoa estar saudável

\[ P(\text{Positivo}) = (0,90 \cdot 0,0833) + (0,10 \cdot 0,9167) = 0,1667 \]

Passo 3:Aplicar o Teorema de Bayes (a posteriori

Agora queremos descobrir a probabilidade A posteriori: a chance de estar doente, dado que o teste foi positivo P(Doente | Positivo)

\[ P(\text{Doente | Positivo}) = \frac{P(\text{Positivo | Doente}) \cdot P(\text{Doente})}{P(\text{Positivo})} \]

Substituindo os valores, tem-se:

\[ P(\text{Doente | Positivo}) = \frac{0,90 \cdot 0,0833}{0,1667} \approx 0,4502 \]

RESULTADO:A nova chance real da pessoa estar doente é de 45,02%

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FUMACHI, E. F. . Disponível em: . Acesso em: .